Obliczenia

Obliczenia dla pojedynczej sprężyny

W swoich obliczeniach Almen i László zakładają, że podczas ugięcia powierzchnia boczna sprężyny obraca się wokół środka obrotu, znajdującego się na środku powierzchni bocznej sprężyny o średnicy D0.

Obliczenia wzor 1
Wzór 1

Obrót przekroju poprzecznego stanowi źródło różnych naprężeń i zjawiska sprężynowania.
W obliczeniach przyjęto, że moduł sprężystości wzdłużnej „E” pozostaje liniowy dla danego materiału, przekrój sprężyny jest prostokątny o ostrych narożnikach, a podczas ugięcia sprężyna pozostaje w jednej płaszczyźnie. Obciążenie przykładane jest w punktach I i III. Naprężenie szczątkowe występujące w sprężynie po jej wytworzeniu i obróbce cieplnej można pominąć.

Pomimo, że obecnie dostępne są bardziej precyzyjne metody obliczeń , nie ma powodu, by zaniechać stosowania prostych i wygodnych wzorów normy DIN 2092. W przypadku wymiarów standardowych dają one bowiem wartości bardzo zbliżone do wyników pomiarowych.

15
Rys. 2 Położenie środka obrotu i punktu OM.

Równania do obliczeń

Poniższe wzory obowiązują dla wszystkich sprężyn talerzowych:

Charakterystyka

Obliczenia wzor 2
Wzór 2
Obliczenia wzor 3
Wzór 3
Obliczenia wzor 4
Wzór 4
Obliczenia wzor 5
Wzór 5
Obliczenia wzor 6
Wzór 6
Obliczenia wzor po 6

Siła sprężyny

Obliczenia wzor 7
Wzór 7

Dla sprężyn talerzowych produkowanych w grupach 1 i 2 (rozdział 4) K4 = 1:

Obliczenia wzor 8a
Wzór 8a

Dla sprężyn talerzowych produkowanych w grupie 3 z płaskimi powierzchniami stykowymi i o zmniejszonej grubości t’ i h0′ należy stosować (h0′ = l0 – t’):

Obliczenia wzor 8b
Wzór 8b

Moduł sprężystości wzdłużnej „E” jest w zasadzie niezależny od warunków obróbki cieplnej i wytrzymałości materiału na rozciąganie.
W przypadku sprężyn stalowych o wymiarach zgodnych z DIN 2093, wzór 7 daje wyniki bardzo zbliżone do wartości pomiarowych.

Siła sprężyny talerzowej nie wzrasta liniowo wraz z ugięciem, lecz jest zakrzywiona regresywnie. Jej wysokość, tj. ugięcie właściwe, maleje wraz ze wzrostem skoku. Wielkość krzywizny wyznaczona jest wyłącznie przez współczynnik h0/t.

16
Rys. 3 Krzywa charakterystyki sprężyny względem h0/t i s/h0.

Obliczenia naprężeń

Obliczenia wzor 9
Wzór 9
Obliczenia wzor 10
Wzór 10
Obliczenia wzor 11
Wzór 11
Obliczenia wzor 12
Wzór 12
Obliczenia wzor 13
Wzór 13

Tutaj:

Obliczenia wzor po 13

odnosi się również do stali sprężynowej. Wartości dodatnie oznaczają wytrzymałość na rozciąganie, a wartości ujemne – naprężenie ściskające. Należy pamiętać, że tak obliczone naprężenie stanowi wartość nominalną, zaś naprężenie rzeczywiste jest znacznie niższe, ponieważ w znacznym stopniu oddziałuje na nie stale obecne naprężenie wewnętrzne.

Ugięcie właściwe sprężyny

Poprzez różnicowanie obciążenia sprężyny F zgodnie z ugięciem s uzyskuje się poniższy wzór na ugięcie właściwe sprężyny R:

Obliczenia wzor 14
Wzór 14

Ugięcie właściwe sprężyny pomiędzy dwoma przyległymi punktami F1, s1 i F2, s2 można w przybliżeniu obliczyć za pomocą poniższego prostego wzoru:

Obliczenia wzor 15
Wzór 15

Praca sprężyny

Wartość pracy wykonywanej przez sprężynę można uzyskać z wzoru całkującego 7 dla obciążenia F przy ugięciu s:

Obliczenia wzor 16
Wzór 16

Dla ograniczonego obszaru zastosowań całkowanie można ograniczyć do zakresu pomiędzy dwoma ugięciami s1 i s2.

Sprężyny talerzowe bez płaskich powierzchni stykowych

Dla sprężyn talerzowych bez płaskich powierzchni stykowych K4 = 1, a h0 = I0 – T. Dotyczy to wszystkich sprężyn talerzowych w grupach produkcyjnych.
Ze względu na przekrój prostokątny o zaokrąglonych narożach, zgodnie ze specyfikacją sprężyn z grup 1 i 2, przyłożenie obciążenia w praktyce zawsze odbywa się za pośrednictwem nieznacznie skróconych ramion dźwigni
Z uwagi na tolerancję h/H dla średnicy zewnętrznej i wewnętrzne, ramiona dźwigni są jeszcze bardziej skrócone. Powoduje to zwiększenie obciążenia sprężyny o współczynnik:

Obliczenia wzor po 16

w przypadku praktycznie wszystkich sprężyn w porównaniu z wartościami obliczonymi za pomocą wzoru 7.
Warunki takie uwzględnia norma DIN 2093, gdzie ujemne tolerancje grubości są znacznie większe od tolerancji dodatnich. Dlatego wszystkie produkowane przez nas sprężyny posiadają nieznacznie zmniejszoną grubość talerza. Zmniejszenie długości ramienia dźwigni stanowi również wyjaśnienie, dlaczego dopuszczalne odchylenia obciążeń sprężyny dla grup 1 i 2 są znacząco wyższe w kierunku dodatnim niż w kierunku ujemnym.

18
Przekrój sprężyny talerzowej w grupie 2.

Sprężyny talerzowe z płaskimi powierzchniami stykowymi

W przypadku sprężyn talerzowych o grubości większej niż 6,0 mm, oprócz zaokrąglonych narożników norma DIN 2093 określa niewielkie powierzchnie stykowe w punktach I i III. Rysunek przedstawia schemat przekroju sprężyny z grupy 3 a zgodnie z DIN 2093.
Wspomniane płaskie powierzchnie stykowe poprawiają wyznaczanie punktów przyłożenia obciążenia, a także zmniejszają tarcie o pręt prowadzący, szczególnie w przypadku stosów sprężyn-. W efekcie uzyskuje się znaczące zmniejszenie długości ramienia dźwigni oraz odpowiadające mu zwiększenie obciążenia sprężyny. To z kolei kompensowane jest przez redukcję grubości sprężyny z t do t’.
Przy obliczaniu sprężyn talerzowych o płaskich powierzchniach stykowych i zmniejszonej grubości należy uwzględnić współczynnik K4, stosując wzór 6 oraz zastąpić wartość t wartością t’ i h0 gdzie h0 = I0 – t’ w równaniach od 7 do 16.

19
Przekrój sprężyny z grupy 3.

Zmniejszoną grubość t’ określa się zgodnie z poniższymi warunkami:

  • Całkowita wysokość I0 pozostaje niezmieniona.
  • Szerokość płaskich powierzchni stykowych powinna wynosić ok. 1/150 średnicy zewnętrznej.
  • Obciążenie sprężyny dla sprężyn o zmniejszonej grubości musi być takie samo przy s = 0,75 h0, jak dla sprężyn o grubości normalnej.

Wymiar t’ określony jest dla sprężyn talerzowych uwzględnionych w normie DIN 2093. Współczynnik średni t’/t wynosi:

SeriaABC
t’/t0,940,940,96


Dla innych sprężyn współczynnik dla t’/t zależy od współczynnika wymiarowego δ oraz h0/t z rysunku 6. Krzywe zostały obliczone dla sprężyn talerzowych o σOM = -1600 N/mm2.
Jako, że wysokość całkowita nie ulega zmianie, sprężyny o zmniejszonej grubości charakteryzują się w sposób nieuchronny zwiększonym kątem powierzchni bocznej oraz większą wysokością stożka h0′ w stosunku do sprężyn o takich samych wymiarach nominalnych, lecz niezmniejszonej grubości. Dlatego też krzywa charakterystyki ulega zmianie i staje się bardziej zakrzywiona. Rysunek przedstawia krzywe charakterystyki dla sprężyn serii A, B i C wg normy DIN 2093 o płaskich powierzchniach stykowych oraz zmniejszonej grubości oraz o normalnych wartościach tych parametrów.

20
Współczynnik t’/t dla sprężyn talerzowych o sOM = -1600 N/mm2.
20
20
20

Charakterystyki obliczeniowe sprężyn talerzowych z płaskimi powierzchniami stykowymi i bez nich. F0 obowiązuje dla sprężyn bez płaskich powierzchni stykowych.

Sprężyny talerzowe z materiałów specjalnych

W przypadku stosowania materiałów specjalnych o różnych modułach „E” i liczbach Poissona μ zaleca się stosowanie odpowiedniego modułu „E” przy zachowaniu wartości 0,91 dla 1-μ2. Podejście takie uzasadnia fakt, iż wzór 7 dla stali o E = 206 000 N/mm2

i μ = 0,3 daje obciążenia o 8 – 9% wyższe, co jest jednak mniej więcej równoważone przez skrócenie dźwigni siły w odniesieniu do przekroju poprzecznego i promieni.

Parametry sprężyn dotyczące wymiarów i obliczeń

Sprężyny talerzowe są zasadniczo określone przez poniższe trzy parametry:

Obliczenia wzor koniec

O ile jest to możliwe, powyższe parametry powinny zawierać się w poniższych przedziałach:

  • δ = 1,75 … 2,5
  • h0/t = 0,4 … 1,3
  • De/t = 16 … 40

Dla niższych wartości δ mają zastosowanie mniejsze wartości h0/t oraz De/t i odwrotnie.
W stosunku do sprężyn stalowych o wymiarach zawierających się w podanych przedziałach można bez ograniczeń stosować wzór 7. W przypadku bardzo cienkich sprężyn talerzowych (De/t > 50) wzór daje zbyt wysokie wartości siły sprężyny.
W przypadku bardzo wąskich podkładek talerzowych o stosunku średnic De/ Di < 1,75 podczas obliczania siły należy uwzględnić skrócenie ramienia dźwigni. Jest to spowodowane przez prostokątny przekrój oraz zaokrąglone krawędzie , skutkujące zbyt niskim wynikiem obliczeniowym obciążenia.