Obliczenia przykłady

Charakterystyka pojedynczej sprężyny

Wartość h0/t wyznacza wartość krzywizny charakterystyki sprężyny. Dla wartości h0/t < 0,4 charakterystyka jest niemal liniowa. W miarę wzrostu wartości h0/t, krzywa staje się bardziej regresywna. Dla h0/t = √2 krzywa posiada niemal poziomy odcinek (przy s = h0 posiada poziomą styczną). Oznacza to możliwość uzyskania sprężyn o niemal poziomej charakterystyce, co pozwala osiągnąć bardzo niewielki wzrost obciążenia podczas ugięcia. Jednak sprężyny tego rodzaju o h0/t > 1,3 nie nadają się do stosowania w długich stosach sprężyn, ponieważ poszczególne sprężyny wewnątrz stosu mogą przemieszczać się nierównomiernie i mogą ulegać przeciążeniu. Dlatego sprężyny tego typu należy stosować wyłącznie pojedynczo.
Z zależności krzywizny charakterystyki od stosunku h0/t wynika, że krzywa charakterystyki sprężyn talerzowych o takich samych wymiarach zmienia się przy ich formowaniu do różnych wysokości. Odwrotnie, przy tej samej wysokości h0 cieńszy talerz będzie wykazywał bardziej regresywną krzywą charakterystyki niż talerz grubszy.
Z drugiej strony siła spłaszczonej sprężyny talerzowej wzrasta w sposób liniowy. Jeśli np. obliczenia sprężyny nie są w stanie przewidzieć tego w zadowalający sposób, wówczas już pierwszy krok w postaci zmiany wysokości sprężyny w stanie nieobciążonym może dać w efekcie żądany wykres obciążenia/ugięcia. W takim przypadku należy jednak przestrzegać wielkości dopuszczalnego naprężenia, ponieważ jego wartość wzrasta wraz ze zwiększaniem wysokości stożka h0.

22
Charakterystyka pojedynczego talerza o różnej wysokości h0

Przy h0/t = √2 siła sprężyny osiąga wartość maksymalną, po czym ponownie maleje. W niektórych przypadkach wykorzystywany jest opadający odcinek krzywej. W pewnych warunkach sprężynę należy obciążyć poza położenie płaskie, dla którego należy podać określone warunki projektowe.

brak3
Sprężyna obciążona poza położenie płaskie

Przy normalnym układzie sprężyn talerzowych progresywny wzrost siły sprężyny występuje przy ugięciu s > 0,75 h, co różni się od wartości obliczeniowych. Wynika to z przesunięcia punktów obciążenia na mniejsze ramiona dźwigni z powodu nachodzenia sprężyn talerzowych na siebie lub na powierzchnie oporowe. Z tego powodu zaleca się wykorzystywanie ok. 75 do 80% ugięcia sprężyny. W związku z tym wartość siły sprężyny w normie DIN 2093 wskazana jest tylko dla s ≈ 0,75 h0 .

23b
Charakterystyka obliczeniowa i rzeczywista

Przykłady obliczeń

Przykład 1: Kontrola trwałości zmęczeniowej sprężyny talerzowej

Dane:

Sprężyna 45 x 22,4 x 1,75; I0 = 3,05 mm
Obciążenie wstępne F1 = 1580 N
Obciążenie końcowe F2 = 2670 N
Częstotliwość f = 1000/min

Co należy określić:

Czy naprężenie zawiera się w dopuszczalnym zakresie – jaka jest szacowana trwałość zmęczeniowa.

Rozwiązanie:
s/h0s [mm]F [N]s [N/mm2]
0,250,3251524433
0,50,6502701814
0,750,98036591148
1,01,30044751421

Przy wykorzystaniu tych czterech punktów można określić obciążenie i naprężenie w zależności od ugięcia.

24b
Sprężyna talerzowa 45 x 22,4 x 1,75; I0 = 3,05 mm
Z wykresu można uzyskać następujące wartości (rys. 12):
  • s1 = 0,34 mm, s2 = 0,64 mm
  • σu = 450 N/mm2
  • σo = 804 N/mm2

Z wykresu zmęczeniowego dla sprężyn grupy 2 – rys. 19 – uzyskujemy wartości: σu = 450 N/mm2 przy maksymalnym naprężeniu wynoszącym σo = 920 N/mm2. Dlatego też sprężyna jest odporna na zmęczenie przy σo < σ0.

24b
Wykres dla sprężyny 45 x 22,4 x 1,75 mm I0 = 3,05 mm

Przykład 2: Sprężyny talerzowe o wysokim współczynniku h0/t

Dane:
  • Średnica elementu prowadzącego: 30 mm
  • Długość zainstalowana I1 = 4,9 mm
  • Obciążenie wstępne F1 = 2000 N min.
  • Ugięcie robocze s2 – s1 = 1,05 mm
  • Obciążenie sprężyny F2 = 2500 N maks.
Poszukiwane:

Odpowiednie wymiary sprężyny talerzowej.

Rozwiązanie:

Średnica wewnętrzna sprężyny Di = 30,5 mm
Średnica zewnętrzna sprężyny De = 60 mm (wybrana z uwagi na korzystny stosunek De/Di).
Z powodu bardzo niewielkiego zakresu obciążeń oraz małej długości zainstalowanej odpowiednie są tylko sprężyny o wysokim stosunku h0/t.

Wybrane:

Sprężyna talerzowa 60 x 30,5 x 1,5 mm;
I0 = 3,5 mm, h0/t = 1,333; δ = 1,967

Obliczenia:

Najpierw, wykorzystując wzór 3, 4 i 5, oblicza się współczynniki:

  • K1 = 0,688
  • K2 = 1,212
  • K3 = 1,365
25a
Rys. 13 Sprężyna talerzowa 60 x 30,5 x 1,5 mm

Naprężenie σOM można sprawdzać za pomocą wzoru 9: σOM = -1048 N/mm2
Wartość ta jest znacznie poniżej wartości granicznej wynoszącej -1600 N/mm2, co oznacza, że sprężyna nie ulegnie odkształceniu trwałemu. Następnie można obliczyć obciążenia sprężyny stosując wzór 8a, najlepiej dla czterech wartości ugięć wynoszących s = 0,25h0, s = 0,5 h0, s = 0,75 h0 oraz s = h0.
Uzyskuje się poniższe wartości:

s/h0s [mm]F [N]
0,250,51338
0,51,02058
0,751,52367
1,02,02469

Przy wykorzystaniu tych czterech punktów można utworzyć wykres sprężyny.

25b
Wykres dla sprężyny 60 x 30,5 x 1, 5 mm I0 = 3,5 mm

Można odczytać że F1 = 2100 N s1 = 1,05 mm a dla F2 = 2400 N s2 = 1,61 mm
Ugięcie: s2 – s1 = 0,56 mm

Ugięcie jednej sprężyny jest niewystarczające, co oznacza konieczność dwóch sprężyn w serii.

Układ taki daje następujące wartości:

  • Długość nieobciążona: L0 = 7,0 mm
  • Długość przy obciążeniu wstępnym: L1 = 4,90 mm
  • Ugięcie przy obciążeniu wstępnym: s1 = 2,1 mm
  • Obciążenie wstępne: F1 = 2100 N
  • Ugięcie: s2 = s1 + 1,05 = 3,15 mm
  • Obciążenie końcowe: F2 = 2390 N

Aby sprawdzić wytrzymałość zmęczeniową, należy zastosować naprężenia przy s1 = 1,05 i s2 = 1,575 mm.

s1: σu = 843 N/mm2
s2: σ0 = 1147 N/mm2

Z wykresu wytrzymałości zmęczeniowej wynika, że oczekiwana trwałość eksploatacyjna będzie rzędu 1 000 000 cykli.

Przykład 3: Obliczenie sprężyny talerzowej o płaskich powierzchniach stykowych

Dane:

Sprężyna talerzowa 200 x 82 x 12 mm; I0 = 16,6 mm
h0 = 4,6 mm; δ = 2,439; h0/t = 0,383

Poszukiwane:

Charakterystyka sprężyny i naprężenia σII i σIII.

Mimo że sprężyna spełnia normy , poniżej pokazujemy, w jaki sposób dokonuje się obliczeń.

Stosując wzory 3 do 5, obliczamy najpierw stałe K1 do K3:

  • K1 = 0,755
  • K2 = 1,315
  • K3 = 1,541
26
Sprężyna talerzowa 200 x 82 x 12 mm

Projekt statyczny można sprawdzić poprzez obliczenie σOM; nie uwzględnia się zmniejszonej grubości oraz stosuje się wartości t i h0, co daje:
σOM = – 1579 N/mm2
Jako że akceptowalną wartością σOM jest 1600 N/mm2, sprężyna jest prawidłowa. Na podstawie rysunku , a także przy uwzględnieniu d oraz h0/t można uzyskać wartość współczynnika redukcji t’/t:
t’/t = 0,958
Stąd też t’ = 11,5 mm a h0′ = 5,1 mm.
Stałą K4 można obliczyć ze wzoru 6:
K4 = 1,0537.

26b
Siły sprężyny i naprężenia dla sprężyny 200 x 82 x 12 mm
t’ = 11,5 I0 = 6,6 mm

Następnie przy użyciu wzorów 8b, 11 i 12 można obliczyć siłę sprężyny i wartości obu naprężeń:

s/h0s [mm]F [N]σII [N/mm2]σIII [N/mm2]
0,251,1566924416389
0,52,3127191890747
0,753,4518273714211072
1,04,623550320111366

Przy sprężynie tego typu wyższe wartości naprężenia występują na średnicy wewnętrznej, która powinna być wykorzystywana. Na koniec można sprawdzić wartość naprężenia σOM dla zmniejszonej grubości:
σOM’ = σOM · K4 · t’/t
σOM’ = – 1595 N/mm2